磁环的复数磁导率
1引入磁环复数磁导率概念的原因
理想的电感其感值是与信号频率无关的常量，而绕在磁环上线圈电感的感值是随着信号频率増减 而变化的。
造成磁环线圈的感值随信号频率增减而变化的原因有两个：一是磁环内部的磁滞、涡流等损耗随 着频率升高逐步增加，二是线圈和引线的直流电阻、线圈间的电容等分布参数。与磁环线圈分布参数 相比，磁环损耗对其感值影响更大。将磁环损耗等效成并联在线圈两端的电阻，则此电阻是频率的函 数。因此实际的磁环线圈并不是单纯的电感，而是由电感、电阻、电容等元件串联、并联组成的比较 复杂元件。而且其中有元件的大小还随信号频率增减而变化。因而很难对磁环线圈建立一个便于分析、 容易计算的模型。
在电子技术领域中，有些由复杂分布参数组成的电路、器件很难计算出其电特性，但可以通过实 验的方法用相应的电子仪器检测出来oLCR测量仪或阻抗分析仪就能够直接检测出磁环线圈的电参数。
LCR测量仪或阻抗分析仪是检测电感、电容、电阻等元件的仪器。在检测磁环线圈时，LCR测量 仪不管被测的磁环线圈是多么复杂的元件，把它当作一个呈感性的元件进行测量。LCR测量仪内部的 信号源向待测磁环线圈施加一个幅度、频率可选定的正弦波电压，并用内部的数字电流表、数字电压 表、数字相位角表分别测出流过磁环线圈的电流I、两端的电压V和电压相对电流的相位角0。
有了测得的I、V、0三个数据就可以通过测量仪内部的微机计算出待测磁环线圈相关的等效参数。 分析、计算正弦（或余弦）交流电路时，一般都采用便于计算的以复数运算为基础的符号法。LCR 测量仪或阻抗分析仪内部的计算程序也是用符号法编写的。在符号法中，一些物理量是用复数表示的。 例如复阻抗、复导纳、复功率等。
引入磁环复数磁导率概念的基本思路是：认为磁环线圈偏离理想电感全都是由磁环的相对磁导率 随信号频率变化引起的。将磁环的相对磁导率写成复数形式，并且推导岀其实数、虚数与LCR测量仪 或阻抗分析仪检测磁环线圈电感时获得参数之间的关系式，从而能间接的用LCR测量仪或阻抗分析仪 测出磁环的相对磁导率。这样磁环生产厂家可向其用户提供对设计磁环线圈更有参考价值的相对磁导 率对频率的关系曲线。
2磁环线圈是一个复杂的元件
图1是LCR测量仪或阻抗分析仪对磁环线圈的阻抗（或导纳）的检测电路。图中的A为数字电流表、
V为数字电压、Vs为内阻为100Q正弦波信号源。LCR测量仪信号源Vs的频率改变是跳跃式的，而 阻抗分析仪信号源Vs的频率改变连续扫描式的。电压相对电流相位角。检测电路在图中未画出。
image.png
图1电桥或阻抗测量仪对磁环线圈的阻抗或导纳的检测的电路
将磁环线圈等效成由电阻Rs与电感Ls组成串联电路的复阻抗Z的表达式为：
Z=Rs+jo)xLs (1)
图2是利用符号法画出的磁环线圈串联模型中等效复阻抗Z、等效电阻Rs、等效电感Ls的相量图。 利用测得I、V、0三个数据推导出的磁环线圈串联模型的等效复阻抗Z的模量IZI、等效串联电阻Rs、 等效串联电感Ls、等效串联模型中的Qs值如下：
IZI=V/1 (2)
Rs=IZ|xcos(0) (3)
Ls=IZ|xSin(9)/a) (4)
Q s=co x Ls/Rs=tan(0) (5)
将磁环线圈等效成由电阻Rp与电感Lp组成的并联电路复导纳Y的表达式为:
Y=l/Rp-j/(coxLp) (6)
图3是利用符号法画出的磁环线圈并联模型中等效复导纳Y、等效电阻Rp、等效电感Lp的相图。
利用测得1、V、。三个数据推导出的磁环线圈并联模型的等效复导纳Y的模量IYI、等效并联电阻 Rp、等效并联电感Lp、等效并联模型中的Qp值如下：
IYI=W (7)
Rp=l/[lYlxcos(O)] (8)
Lp=l/[lYlxSin(9)xco] (9)
Qp=Rp/(coxLp) = l/tan(0) (10)
LCR测量仪或阻抗分析仪可同时在其液晶屏上显示待测磁环线圈的两个参数。检测者可从多个组 合参数中选择所需要的组合参数。可供选择的组合参数有：亿1.0, Ls-Rs, Ls-Qs, IYI-0, Lp.Rp, Lp.Qp。
3磁环相对磁导率与LCR测量仪或阻抗分析仪测到磁环线圈参数之间的关系式
从电磁学知道，磁环线圈的电感L表达式为:
式(11)中的卩是磁环内部的磁导率，心是真空的磁导率，囚是相对磁导率，S是磁环的横截面积, N是线圈的匝数、/是磁路的平均长度。
以Lo表示去掉磁环后空心线圈的电感，则得到：
对于给定线圈匝数和几何形状的空心线圈来说，Lo是一个与频率无关的常数。将式(12)中的Lo代 入到式(11),则磁环线圈电感L的表达式可简化为：
在符号法中，复阻抗Z和复导纳Y与电感L的关系式为：
将式(13)中磁环线圈的L表达式代入到式(14)、式(15)中得Z、Y与相对磁导率的关系式：
式(16)中的人表示串联模型的相对磁导率，式(17)中的卩p表示并联模型的相对磁导率。
用选定频率对给定匝数和几何形状的磁环线圈进行检测时，式(16)和式(17)的co、Lo都是常数，而 Z、Y都是含实部和虚部的复数，因而两式中的相对磁导率人、Up也应为复数。将串联模型复磁导率丄 写成：
将式(18)代入到式(16)中，可得到P's、”，与磁环线圈串联模型参数间的关系式：
式(14)和式(19)中的实数分和虚数部应相等，即：
将并联模型复磁导率与写成：
将式(23)代入到式(17)中，可得到卩；、卩〃p并联模型相对复磁导率与磁环线圈并联模型中参数间的关系 式：
式(19)和式(24)中的实数部分和虚数部分应相等，即：
4复数磁导率和归一化阻抗(单位电感的阻抗)对频率的关系曲线
网络变压器是由单个或多个磁环线圈组成的器件。挑选磁环是网络变压器设计者重要任务之一。
在挑选磁环时，既要求它在低频区具有较大的相对磁导率，也要求其相对磁导率在高频区下降的趋势 比较缓慢。因而磁环用户希望生产厂家在其产品说明书中提供更多有关磁环频率特性的资料。
为满足客户的要求，近来有些磁环生产厂家巳开始在其产品说明书中给出了磁环复数相对磁导率 ,和归一化阻抗Z对频率f的关系曲线。
虽然有串联模型相对复磁导率和并联模型相对复磁导率的表达式.但用得比较多 的还是串联模型相对复磁导率。
图4是MMG-North America公司在其产品介绍中给出的链锌FT6型材料的串联模型相对复数磁导 率,对频率f的关系曲线，图5是该公司给出的链锌FT6型材料的归一化阻抗Z(Q)对频率f的
图6是MMG-North America公司在其产品介绍中给出的镣锌F52型材料的串联模型相对复数磁导 率。对频率f的关系曲线，图6是该公司给出的镣锌F52型材料的归一化阻抗Z(Q)对频率f的 关系曲线。
将锰锌FT6型材料和镍锌F52型材料的Us,作任一对比可以看到:在低频区FT6的Us远高于F52的Us。 但随着工作频率的升高FT6的Us从300kHz时开始跌落，在2MHz时，其Us从6000己跌至420。
在低频区F52的Us只有880,工作频率升高到1.2 MHz时开始跌落，在仁10MHz时，从880跌至 220。
F52的Us开始跌落频率远高于FT6,而且随着工作频率的升高FT6的Us、跌落速度也比F52的跌落 速度快。可预见在更高的频区F52的Ks可能会反超FT6的
在10.300kHz低频区，FT6的Z(C)随f升高线性增加，在f >300kH频区增速变缓，当f=4MHz 时达到峰值。在f>4MHz的高频区FT6的Z(。)随f升高逐步下降。
F52的Z随f升高的变化趋势与F52的大体上相似，但其峰值在f=300MHz的高频处才出现。 F52的Z(Q)的峰值频率远大于FT6的Z(Q)的峰值频率。
以上磁环的相对复数磁导率和归一化阻抗对频率的关系曲线可作为网络变压器设计的重要依据。 估计在不久的将来，阻抗分析仪会增加一项检测磁环相对磁导率的功能。因为只需要在阻抗分析仪内部的微型计算机中，再增加三个计算相对磁导率的实数部分、虚数部分和阻抗模量的程序就可以 了。到时磁环生产厂家会在产品介绍书中给出更完整的复数磁导率对频率f的关系曲线。
